ぐうたら日記

西成活裕著「とんでもなく役に立つ数学」という本を紹介します。

これは，著者が高校生に向けて行った特別授業をまとめたものです。

『１６歳の教科書２』執筆の際に

「どんな数学アレルギーも解消する自信がある」と書いた著者。

高校生にもわかりやすく，現実の問題を解くための数学を解説しています。

次の一手を踏み出す工夫，正解に近いところから工夫すること。
譲り合うと社会が幸せ。
渋滞学，車間距離４０mを保てば渋滞は解消する。

1. 次の一手を踏み出す工夫，正解に近いところから工夫すること。

前半は，数学の考え方，問題の取り組み方の解説となっています。

初めに，論理の組み立て方を解説した後に，

今度は，詰まったときに次の一手を踏み出す工夫を

次のように説明しています。

次の一手を踏み出せるかどうか

ノートに２つの点を書いて，この２点を定規で結んでみてください。

この線は，何を示しているかというと，２つの点の最短距離だね。

曲げるより，ピンと張ったほうがぜったい短い。

さて，この理論を使って，今から問題を解いてみてください。

一辺１０センチの正方形になるように４つの点を書きます。

この４つのすべてを線でつなぎたい。

そして，つないだ線の長さが，一番短くなるようなつなぎ方を考えて，

定規で測ってみてください。

たとえば４つの点をみなさんと友達の家だと思ってください。

この４軒まわるのに道路が必要で，

なるべく早く全部の家にたどりつける線を見つけたい，という問題です。

これは，電子部品に使われるプリント基盤

（電気回路の配線がプリントされているボード）

の配線の長さをいかに短くしてコストを抑えるか，

などという現実の問題とも関係していて，

実際にいろんなところで使われている話です。

この問題，直感的に思いつく答えは，バッテンの道路でしょう。

しかし，これより，もっと短くなります。

答えは，YとYをひっくり返した文字をくっつけたような道路になります。

理由は，真ん中の縦のまっすぐな部分が，

対角方向に進むふたつの道路で共通に使われるから。

対角線が一番短いだろうって，みんながなんとなく思っちゃう。

なんとなく感じることってある程度は正しいけれど，

間違いを犯すこともある。

その間違いを犯す部分に数学を使えばいい。

みんながバッテンだと思うんだから，たぶん正解は近いはずなんだよね。

そのとき，ちょっと線をずらしてみるとか，

正解に近そうなところから工夫する。

これがブレイクスルーが起こる一歩です。

2. 譲り合うと社会が幸せ。

次に引用するのは，

数学で人間関係の問題を扱った例です。

勝ち続けるのとゆずり合うの，どっちの社会が幸せ？

ゲーム理論において一度だけではなく，

何度も判断をくり返す状況を「くり返しゲーム」というのですが，

この設定で行った次の問題を考えてみましょう。

[設定]

あるレストランが新装開店した。料理人の腕が良く，美味しくて大評判。

ただ，店は予約できず，客席はけっこう狭い。

６人までだったら快適に食事できるけれど，７人以上になるとぎゅうぎゅう詰めでイライラがつのり，かえって不愉快になってしまう……。

いま，この状況に１３人が置かれているとする。

全員，できれば毎晩，その店に出かけたいと思っている。

でも，全員が店で食事することはできないから，

何人かはがまんして家で過ごさなければいけない。

そして，「快適に過ごせた度合い」で次のように得点制にしてみます。

[得点のルール]

・店に出かけたら，客は６人以下だった

　　→快適に食事を楽しめたので，ベストの２点

・店が空いていたのに家にいた

　　→残念だったということで０点

・店に出かけたら，７人以上の客がいた

　　→窮屈でストレスを感じるので０点

・店が混んでいたとき家にいた

　　→不快感はないので１点

この設定で，何度もくり返し，みなで得点の合計を競い合います。

得点が高いほど満足度が高いということですが，

真の目標は１３人全員合わせたトータルの点数が高くなるということ。

この１３人の社会全体がハッピーになる条件を考えてみたいのですが，

一人ひとりがとる行動を，次の２パターンで実験してみました。

ひとつ目は全員が「自分さえよければいい」

と自分勝手に振る舞うバージョンです。

店に行って食事を楽しめたら，翌日もまた店に行って

良い思いをしようとする。

家にいたときに店が混んでいて，窮屈な思いをしなくて済んで

ラッキーだったら，また翌日も家にいる。

つまり得点を取ったら，次も同じ方法で点を取ろうとするスタンスです。

もうひとつは，他の人を思いやって，

ある日に良い思いをしたら，次の日は他の人にゆずる。

つまり，店に行って食事を楽しめたら，翌日は他の人にゆずって家にいる。

もしも家にいて得点をもらったら，

翌日は混んでいるかもしれないけれど店に行ってみる。

これは，勝ちつづけようとせず，得点をもらったら，

次は他人に勝ちをゆずるという行動を表しています。

このふたつの振る舞い方でゲームをくり返した場合，

どちらが全員の合計得点が高くなるか，わかりますか。

１０日ぐらいつづけるだけで差がついてくるそうですが，

実は，利益をゆずり合う行動をとったときのほうが合計得点が高くなります。

その差は日にちがたつほど開いていくそうです。

全体の合計得点を高めるというところがミソだと思いますが，

みんながみんなを思いやって行動する方が，

社会のトータルの幸せ度が上がるということが，

ゲーム理論から証明できることは面白いですね。

このような結果が渋滞解消のための数学にも出てくるというのです。

3. 渋滞学，車間距離４０mを保てば渋滞は解消する。

高速道路の渋滞は，どんなときに起きる？

それでは，渋滞学の課題を一緒に考えてみましょう。

車の渋滞，とくに高速道路の渋滞について考えたいと思います。

[問]　高速道路の渋滞は，どうやったらなくせる？

ここで使う数学はセルオートマトンと呼ばれるものです。

セルオートマトンは，「０と１」と，それを変化させる「ルール」を使って世の中の現象を０と１の動きで表現する数学で，フォン＝ノイマンが１９５０年代に考案しました。

彼は２０世紀を代表する天才で，前回紹介したゲーム理論をつくっただけでなく，このセルオートマトンも考案し，さらに私たちが使っている計算機もつくった人です。凄すぎますね。

渋滞を考えるにあたって，セルオートマトンのセットアップは次の通り。

高速道路を車１台分強の長さである約７メートルごとに区切ります。

そこに

１：車がいる

０：車がいない

として１と０をセットします。

ルールは

「前が空いていれば１が進み，つまっていれば進めない」

という簡単なものにします。

次に示す図は，

車が少ないときと，車が多いときのシミュレーション結果です。

図１.車が少ないとき。時間がたつと，適度にばらける

０１１０００１０１１１００１０→車の進行方向

↓

０１０１０００１１１０１００１

↓

１０１０１００１１０１０１００

↓

０１０１０１０１０１０１０１０

図２. 車が多いとき。渋滞のかたまりが，後方に動きながら残る

１０１１１００１１０１１１１０→車の進行方向

↓

０１１１０１０１０１１１１０１

↓

１１１０１０１０１１１１０１０

↓

１１０１０１０１１１１０１０１

図１のように渋滞にならない車の密度の限界は，

１キロメートルあたり２５台未満ということがわかっています。

車間距離にすると４０メートルです。

さて，ここからが重要です。

渋滞をなくすには，１キロメートルあたりあたり２５台以下にすればよいのはわかったけれど，そのためにはどうすればいいでしょうか。

あ，ちなみにこれには「正解」というものはありません。

大切なのは，どれだけ論理的にに正しくアイディアを述べられるかです。

--- 車の台数をいくつかの場所で常にチェックして，

１キロメートルあたり２５台以上多くなったら警告を出す？

---車間距離40メートル以上近づけないように

強制的に車に減速させるような仕掛けをつくる？

しかし，この実現はなかなか難しいようです。

セルオートマトンを使って高速道路の渋滞解決策を考えます。

図２を見ると，ある場所で発生した渋滞のかたまりは，

進行方向と逆に進んでいます。

崩れずに安定して後ろに伝わっています。

これは，この本に解説もある崩れない波のソリトンと考えられます。

これを崩す方法を考えます。

図３を見てください。

３台のかたまりがあって，その後ろの車は，

１セルしか車間距離を空けていないときです。

渋滞の波は残って，後ろに伝わっています。

図３. 車間距離を空けていないと...渋滞の波が後ろに伝わる

０１０１０１０１１１０００→車の進行方向

↓

１０１０１０１１１０１００

↓

０１０１０１１１０１０１０

↓

１０１０１１１０１０１０１

次に，３台のかたまりの次の車が，

３セル分の車間距離を空けているとどうなるか。

図４を見てください。

渋滞の波が消えていきます。

図４. 車間距離を３セル分空けると…渋滞の波が消える。正解！

１１０１０００１１１０００→車の進行方向

↓

１０１０１００１１０１００

↓

１１０１０１０１０１０１０

↓

１０１０１０１０１０１０１

車間距離を空けていれば，

前から来た渋滞の波を吸収し，弱めることができる。

これは，車間距離が空いていると，

前の車がブレーキを踏んでも，

自分はブレーキを踏まずに進みつづけられるからなんですね。

この車間距離を空ける走行は，全員がする必要はなくて，

１０台に１台程度でも効果があります。

私たちは，この車たちを「渋滞吸収車」と名づけました。

個人の力が渋滞を消す？

渋滞吸収車は，車間距離をとることで，前が遅くなっても耐えて，一定の速度で走りつづけます。

これがブレーキの連鎖を止めるクッションの役割を果たすことになる。

２０キロにも伸びた大渋滞はすぐには解消できませんが，１キロぐらい，あるいはそれ以下の長さの渋滞なら，個人の努力で十分消すことができるのです。

渋滞を見たら，あえて減速して車間距離を空け，渋滞領域に到着するのを遅らせる走り方をすれば，前方にある渋滞を成長させずに済む。